July 2021

Dare la definizione di modello logico e spiegare i componenti principali (max 20 righe)

Siano \(A\) e \(B\) due insiemi. \(A = \{ 3, 5, 7 \}\), \(B = \{ 2, 4, 5, 8, 10, 12 \}\).

Sia \(R\) una relazione \(R \subseteq A \times B\). Sia \(a\,R\,b\) iff \(a + b\) è un numero pari, con \(a \in A\) e \(b \in B\).

Si elenchino gli elementi di R.

Dare la definizione di formula ben formata in Logica proposizionale.

Supponendo di avere a disposizione le seguenti lettere proposizionali:

• PIOVE, vera se sta piovendo
• SOLE, vera se c’è il sole
• ARCOBALENO, vera se c’è l’arcobaleno

Scrivere le formule proposizionali che formalizzano le seguenti affermazioni:

1. L’arcobaleno c’è quando piove con il sole
2. O piove o c’è il sole
3. Se c’è il sole, non piove

Si noti che le affermazioni non sono necessariamente coerenti le une con le altre.

Utilizzando il metodo del Tableau, dire se la seguente formula è …

\(\exists y \forall x ((P(y) \wedge Q(y)) \supset Q(x))\)

• [SI] Valida
• Soddisfacibile
• Insoddisfacibile
• Nessuna di quelle sopra

Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere (\(x\), \(y\) sono variabili, \(c\) è una costante).

• \(\exists x. P(x)\) soddisfacibile
• \(P(x) \vee \neg P(x)\) valida
• \(\forall x. P(x) \equiv \forall y. P(y)\) valida, dove \(\equiv\) sta per “se e solo se”
  
• \(P(c)\) è soddisfacibile
• \(P(x) \vee \neg P(y)\) valida
• \(P(x) \wedge \neg P(y)\) insoddisfacibile
• \(x=c\) è valida

Si consideri il seguente frame

\(F = < W, R >\)

dove:

• \(W = \{ 1, 2 \}\)
• \(R = \{ (1, 2), (2, 1) \}\)

Sia data la seguente funzione di interpretazione

• \(I(A) = \{ 1 \}\)

Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere in F:

• [SI] \((A \wedge \square \neg A) \vee (\diamond A \vee \neg A)\)
• \(A \wedge \square \neg A\)
• [SI] \(\diamond \diamond A\)
• \(\neg \diamond \neg (A \supset A)\)
• [SI] \(\square (A \supset \diamond \neg A)\)

Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere (x è una variabile)

• \(\forall x. (A(x) \vee B(x)) \supset ( \forall x. A(x) \vee \forall x.B(x))\) è valida
• [SI] \((\forall x. A(x) \vee \forall x. B(x)) \supset \forall x. (A(x) \vee B(x))\) è valida
• [SI] \(\forall x. A(x) \supset \exists y. A(y)\) è valida
• [SI] \(\exists x. A(x) \supset \forall x. A(x)\) è soddisfacibile
• [SI] \(\forall x. A(x) \iff \neg \exists x. \neg A(x)\) e’ valida, dove \(\iff\) indica “se e solo se”

Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere

• [SI] La logica modale K ha come modelli la classe di tutti i frames
• [SI] La logica modale T ha come modelli la classe di tutti i modelli riflessivi
• [SI] La logica modale S4 ha come modelli la classe di tutti i frames dove la relazione di accessibilità è una relazione di equivalenza
• La relazione di accessibilità R è seriale se \(\forall w. \exists v. R(w,v)\), dove \(w\),\(v\) sono mondi
• La logica modale T ha una relazione di accessibilità \(R\) che soddisfa la proprietà \(\forall w. R(w,w)\), dove \(w\) sono mondi

Definire formalmente le quattro forme di ragionamento (“Reasoning services”) che sono supportati in una TBOX di una description logics (max 20 righe)