Appello Gennaio

Vogliamo rappresentare in logica proposizionale la conoscenza necessaria a un robot per operare in un ambiente in cui sono presenti tre blocchi colorati, uno rosso, uno verde e uno giallo. I blocchi possono stare uno sopra l’altro o uno a fianco all’altro. Il robot è in grado di spostare un blocco solo se non ha nessun altro blocco sopra.

Rappresentiamo che un blocco è sopra un altro utilizzando lettere proposizionali nella forma COLORE_SOPRA_COLORE. Ad esempio: ROSSO_SOPRA_VERDE, se vera, indica che il blocco ROSSO è sopra il blocco VERDE.

Rappresentiamo inoltre il fatto che il robot può spostare un blocco con la seguente lettera proposizionale: SPOSTABILE_BLOCCO. Ad esempio: SPOSTABILE_ROSSO, se vera, indica che il blocco ROSSO può essere spostato, cioè che il blocco ROSSO non ha nessun blocco sopra di esso.

Quale o quali delle seguenti formule sono valide nel nostro mondo?

• (ROSSO_SOPRA_VERDE and VERDE_SOPRA_GIALLO) imp SPOSTABILE_ROSSO
• SPOSTABILE_ROSSO imp (not VERDE_SOPRA_ROSSO and not GIALLO_SOPRA_ROSSO)
• (VERDE_SOPRA_ROSSO or GIALLO_SOPRA_ROSSO) imp not SPOSTABILE_ROSSO
• SPOSTABILE_ROSSO iff ROSSO_SOPRA_VERDE and not GIALLO_SOPRA_ROSSO
• SPOSTABILE_ROSSO iff ROSSO_SOPRA_VERDE and VERDE_SOPRA_GIALLO
• SPOSTABILE_ROSSO imp ROSSO_SOPRA_VERDE and VERDE_SOPRA_GIALLO

Quali delle seguenti assegnazioni rendono vera la seguente formula:

(A ⊃ (B ∧ C)) ∧ A ∧ (¬ B ∨ ¬ C)

Di seguito si assuma che la prima lettera indichi il valore di verità di A, la seconda di B e la terza di C. Quindi, ad esempio, V,F,V indica l’interpretazione in cui A è vera, B è falsa e C è vera.

• F, F, F
• F, F, V
• F, V, F
• F, V, V
• V, F, F
• V, F, V
• V, V, F
• V, V, V
• Nessuna assegnazione

Consideriamo la logica proposizionale PL. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere:

• Se \(T_1\) e \(T_2\) sono due teorie in PL, allora, se \(T_1 \models A\) e \(T_2 \cup \{ A \} \models B\) allora \(T_1 \cup T_2 \models B\)
• \(T\) è una teoria in PL se e solo se \(T \models A\) implica che \(A \in T\)
• Una teoria in PL contiene sempre un insieme infinito di formule
• Data un teoria T in PL, se esiste un insieme finito di assiomi che assiomatizza T, allora ne esiste più di uno
• Data una formula A in PL, il numero delle sotto-formule di A è il numero di simboli, logici e non logici, che occorrono in A, più uno
• Se A in PL è soddisfacibile allora \(\neg A\) è insoddisfacibile
• Se \(T_1\) e \(T_2\) sono due teorie in PL allora, \(T_1 \models A\) e \(T_1 \cup T_2 \models A\) se e solo se \(T_2\) non è vuota
• L’insieme di formule in PL \(\{A, A \supset B, B \}\) è una teoria di PL

Come formalizzereste in FOL la seguente frase:

Solo uno studente non ha passato l’esame di Geometria

• ∃x (Student(x) ∧ Failed(x, Geometry) ∧ ∀y (Student(y) ∧ Failed(y, Geometry) ⊃ x=y))
• ∀x (Student(x) ∧ Failed(x, Geometry) ∧ ∃y (Student(y) ∧ Failed(y, Geometry) ⊃ x=y))
• ∀x (Student(x) ⊃ Failed(x, Geometry) ∧ ∀y (Student(y) ∧ Failed(y, Geometry) ⊃ x=y))
• ∃x ∃y (Student(x) ∧ Failed(x, Geometry) ∧ x = y)

Utilizzare il metodo del Tableau per verificare se la seguente formula è …

∃y ∀x (P(y) ∧ Q(y) ⊃ Q(x) ∧ P(x))

• Valida
• Soddisfacibile
• Insoddisfacibile

Consideriamo H, la logica di Hilbert del primo ordine. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere:

• A ⊃ (B ⊃ A) è un assioma di H
• A ⊃ (¬ B ⊃ A) è un teorema di H
• ∀ c. (A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ ∀ c. B), dove c non occorre libera in A, è un assioma di H
• “da A e A ⊃ B si può derivare B” è un assioma di H
• I teoremi di H sono un sottoinsieme proprio dei teoremi che si possono dedurre usando il calcolo dei tableau per la logica del primo ordine

Immaginando di:

1. avere un frame \(F\) = < \(W\), \(R\) > di una logica temporale dove \((w_1, w_2) \in R\) se e solo se \(w_2\) rappresenta lo stato del mondo in un istante di tempo successivo a quello di \(w_1\)
2. \(w \models \mbox{Piovuto}\) è vero se ha piovuto nel mondo \(w\)
3. \(w \models \mbox{Bagnato}\) è vero se il prato è bagnato nel mondo \(w\)

come rappresentereste la seguente frase in \(F\)?

Se il prato è bagnato è possible che abbia piovuto

• Piovuto ⊃ ⋄ Bagnato
• Piovuto ⊃ Bagnato
• Bagnato ⊃ ⋄ Piovuto
• Bagnato ⊃ □ Piovuto

Si consideri il seguente frame

F = < W, R >

dove:

• W = { 1, 2, 3 }
• R = { (1,2), (2,3), (3,1) }

Sia data la seguente funzione di interpretazione

I(A) = { 1 }
I(B) = { 2 }
I(C) = { 3 }

Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere:

• F ⊨ □ □ A iff B
• F ⊨ ¬ B ∨ □ □ A
• F ⊨ □ (A ⊃ □ B)
• F ⊨ B ∧ □ □ A
• F ⊨ C ⊃ ⋄ ⋄ A
• F ⊨ □ A ⊃ ⋄ □ A

Sia dato il seguente database

Persona

Quali delle seguenti affermazioni sono vere?

• Un Data Scientist che dovesse formalizzare la conoscenza implicita codificata nella base di dati sopra rappresentata utilizzando le parole nel loro significato inteso, potrebbe codificare la seguente TBOX ?

TBOX = {
         Uomo ⊑ Persona,
         not Uomo ⊑ Persona
       }

• Il data scientist di cui al punto precedente potrebbe arricchire la TBOX di al punto precedente con il seguente fatto?

  { ∃ Nazionalita.Italiano \subsumedby By Persona}
  

• Il Data scientist di cui al punto precedente potrebbe arricchire la TBOX di cui al punto precedente con il seguente fatto?

  { Età ⊑ Persona }
  

• Assumendo Open World assumption, la seguente ABOX rappresenta correttamente ma non completamente i contenuti del data base?

  ABOX = {
           Amico_di(Fausto, Adolfo),
           Amico_di(Adolfo, MaryAnne),
           Uomo(Fausto),
           Uomo (MaryAnne)
         }
  

• Nel processo di formalizzazione della ABOX, un data scientist potrebbe aggiungere i seguenti due fatti alla ABOX, intendendo per part_of il fatto che il primo elemento è geograficamente incluso nel secondo?

  { Part_of(Trento, Italia), part_of(Milano, Italia) }
  

Descrivere sinteticamente (max 30 righe) come, intuitivamente, le logiche descrittive possano essere messe in corrispondenza con le logiche multimodali. In particolare indicare almeno tre elementi della sintassi o della semantica di una logica descrittiva e la loro corrispondenza con altrettanti elementi della sintassi o della semantica di una logica multimodale. (Usare elementi diversi da quelli presentati nell’esempio sotto.)

Ad esempio.

• AND_SQUARE in logica descrittiva è utilizzato per intersecare due concetti e corrisponde a AND in logica modale, che viene utilizzato per congiungere il valore di verità di due formule.
• OR_SQUARE in logica descrittiva è utilizzato per unire due concetti e corrisponde a OR in logica modale, che viene utilizzato per disgiungere il valore di verità di due formule.
• NOT in logica descrittiva è utilizzato per costruire il complemento rispetto al dominio di un concetto e corrisponde a NOT in logica modale, utilizzato per negare il valore di verità di una formula